Équation polynomiale du premier degré dans C

Définition

Résoudre une équation d'inconnue  `z` dans `\mathbb{C}` , c'est déterminer toutes les valeurs complexes de z pour lesquelles l'égalité est vraie. L'ensemble des solutions d'une équation est noté `S` .

Remarque

Les équations du premier degré dans  \(\mathbb{C}\) se résolvent de la même manière que dans `\mathbb{R}` .

Exemple

On souhaite résoudre dans  `\mathbb{C}` l'équation : `z-3i=-1-5iz` .

On a :
\(\begin{align*} z-3i=-1-5iz & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z+5iz=-1+3i \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ (1+5i)z=-1+3i \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z=\frac{-1+3i}{1+5i} \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z=\frac{(-1+3i)(1-5i)}{(1+5i)(1-5i)} \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z=\frac{-1+5i+3i+15}{1^2+5^2} \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ =\frac{14+8i}{26} \\ & \ \ \Longleftrightarrow \ \ z= \frac{7+4i}{13} \end{align*}\)
donc \(S=\{ \dfrac{7+4i}{13} \}\) .

Remarque

Dans l'exemple, si l'on avait demandé de résoudre l'équation dans \(\mathbb{R}\) , on aurait conclu que \(S=\varnothing\) .